サンプリング周波数以上でのエイリアシング

信号処理でサンプリングを勉強していると，ナイキスト周波数(Nyquist frequency)とエイリアシング(aliasing)の話が必ず出てきます．
大体，「サンプリング周波数の半分がナイキスト周波数なので，測定したい対象の周波数をナイキスト周波数以下にしなさい」とか，
「サンプリング周波数は測定対象の周波数の10倍くらいにしなさい」とか，
「ナイキスト周波数を境にエイリアシング（折り返し雑音）が生じます」とかいうのが書かれています．
ここで疑問に思うのは，「測定対象の周波数がサンプリング周波数を超えると，測定結果としてどのように見えるのか」ということです．
そんな状況では，測定という行為がそもそも成立しているようには思えませんが，そういう可能性も常に考えておくのが正しいはずです．
可能性を考えておくためには，どういう見え方をするのかを理解しておかなければいけません．
そこで，どういう風に見えるのかを計算してみます．

まずは，測定対象の正弦波を，特定のサンプリング周波数で測定したときの数式を作ります．

\( V_{(N)} = \sin(2 \pi f_{target} \cdot \cfrac{N}{f_{sample}} + \phi ) \)

\( V_{N} \): N番目の測定結果（ただし，Nは自然数）
\( f_{target} \): 測定対象の周波数
\( f_{sample} \): サンプリング周波数
\( \phi \): 位相差（今回はゼロに設定）

まずは，測定が成立している場合とし，\( f_{target}= 30 \) (Hz) ，\( f_{sample}= 400 \) (Hz)とします．
下図に，時系列の測定結果を示します．



測定対象の正弦波に対して，測定点が追従できていることがわかります．
この時系列の測定結果をフーリエ変換して，片振幅スペクトルを計算した結果を下図に示します．



片振幅スペクトルを確認すると，30Hzが370Hzのピークとしても見えていることがわかります．
ナイキスト周波数が200Hzなので，ここで折り返していることがわかります．
次に，\( f_{target}= 370 \)，\( f_{sample}= 400 \)とします．
下図に，時系列の測定結果を示します．



この時点で，測定対象の正弦波に対して，測定点が追従できていないことがわかります．
下図に，片振幅スペクトルの計算結果を示します．



\( f_{target}= 30 \)，\( f_{sample}= 400 \)での計算結果と区別がつかないことがわかります．

では，ここから，測定対象の周波数を，サンプリング周波数以上に設定します．
下図に，\( f_{target}= 430 \)，\( f_{sample}= 400 \)での計算結果を示します．
これらは，時系列の測定結果および，片振幅スペクトルの計算結果が，\( f_{target}= 30 \)と同じです．






下図に，\( f_{target}= 770 \)，\( f_{sample}= 400 \)での計算結果を示します．
これらは，時系列の測定結果および，片振幅スペクトルの計算結果が，\( f_{target}= 370 \)と同じです．







下図に，\( f_{target}= 830 \)，\( f_{sample}= 400 \)での計算結果を示します．
これらは，時系列の測定結果および，片振幅スペクトルの計算結果が，\( f_{target}= 30 \)と同じです．






実際に測定しているときには，位相の影響までは把握できないので，位相が180度ずれてみえる効果は無視します．
そうすると，測定結果として得られた周波数が，実際には違う周波数だったとしたとき，それは次式を満たします．

\( f_{true} = N \cdot f_{sample} \pm f_{measured} \)
ただし，
\( N \)は0以上の整数で，\( f_{true} > 0 \)を満たす．

\( f_{true} \): 実際に生じている周波数
\( f_{sample} \): サンプリング周波数
\( f_{measured} \): 測定結果として得られた周波数（ただし，ナイキスト周波数以下）


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