切りくず冷却時の温度変化

切削中に飛んでくる切りくずは非常に熱いです．
切りくずが形成されてから常温になるまでにかかる時間はどのくらいなのでしょうか．
ここでは，それを計算してみたいと思います．

切りくずの温度変化を示す数式としては，「実用切削加工法」の175ページに次式があります．

\( \cfrac{ \theta_{\tau} - \theta_{0} }{ \theta_{1} - \theta_{0} } = \exp \lbrace - \cfrac{h}{\rho c}( \cfrac{2}{b} - \cfrac{2}{t_{c}} ) \tau \rbrace \)

\( \theta_{1} \): 切りくずの初期温度
\( \theta_{0} \): 冷却媒体となる流体温度
\( \theta_{\tau} \): 時間\( \tau \)での切りくずの温度
\( \tau \): 時間
\( \rho \): 比重
\( h \): 熱伝達率
\( c \): 比熱
\( b \): 切りくずの幅
\( t_{c} \): 切りくずの厚み

「テンパカラーより刃先温度を求める計算図表」の式3も同じ式なのですが，時間\( \tau \)が抜けているので上式を使ったほうがいいです．
上式を変形すると次式が得られます．

\( \theta_{\tau} = (\theta_{1} - \theta_{0}) \exp \lbrace - \cfrac{h}{\rho c}( \cfrac{2}{b} - \cfrac{2}{t_{c}} ) \tau \rbrace + \theta_{0} \)

ここからは数値を代入して計算例を示します．
以下の数値を用います．

\( \theta_{1} \): 切りくずの初期温度 450 ℃=723 K
\( \theta_{0} \): 冷却媒体となる流体温度 27 ℃=300 K
\( \rho \): 比重 7850 kg/m³
\( c \): 比熱 444 J/(kgK)
\( b \): 切りくずの幅 2 mm
\( t_{c} \): 切りくずの厚み 0.346 mm（切り取り厚み0.2mm，せん断角30度を想定）

熱伝達率\( h \)に関しては「伝熱学つまみ喰い」の表2の値を参照します．
具体的には，自然対流の空気と水，強制対流の空気と水の値を用います．
下図に，切りくずの温度変化の計算結果を示します．


図　切りくずの温度変化

1. 自然対流
   層流　\( N_{u} = 0.54(G_{r} \cdot P_{r})^{\cfrac{1}{4}} \)
   at \( P_{r} \approx 1 \)，\( R_{e} \lt (3 \sim 5)10^{5} \)
   
   乱流　\( N_{u} = 0.14(G_{r} \cdot P_{r})^{\cfrac{1}{3}} \)
   at \( 0.6 \lt P_{r} \)，\( R_{e} \geqq (3 \sim 5)10^{5} \)
   
   
2. 強制対流
   層流　\( N_{u} = 0.332R_{e}^{\cfrac{1}{2}} \cdot P_{r}^{\cfrac{1}{3}} \)
   at \( 10^{5} \lt G_{r} \cdot P_{r} \lt 2 \cdot 10^{7} \)
   
   乱流　\( N_{u} = 0.0296R_{e}^{\cfrac{4}{5}} \cdot P_{r}^{\cfrac{1}{3}} \)
   at \( 2 \cdot 10^{7} \lt G_{r} \cdot P_{r} \lt 3 \cdot 10^{10} \)
   

1. 自然対流
   乱流　\( N_{u} = 0.14(G_{r} \cdot P_{r})^{\cfrac{1}{3}} + 0.58(G_{r} \cdot P_{r})^{\cfrac{1}{5}} \)
   
   
2. 強制対流
   乱流　\( N_{u} = 0.0592R_{e}^{\cfrac{4}{5}} \cdot P_{r}^{\cfrac{1}{3}} \)