刃数による断面二次モーメントの異方性への影響
エンドミルやドリルの刃数による切削加工への影響は様々な話があります．
その中で私が疑問に思っていたのは，工具剛性の異方性です．
工具剛性に異方性があるかどうかを簡単に判断する方法はないのでしょうか．
ここから先の話は「ねじれ刃エンドミルの断面形状と曲げ剛性」の模倣に近いので，論文読んだほうが早いと思います．
工具剛性に異方性があるかどうか，というのは，工具断面とねじれの影響によって定まると予想できます．
因果関係としては，以下のようになります．
工具断面において断面二次モーメントに異方性がなければ，工具剛性にも異方性はないはずです．
工具断面において断面二次モーメントに異方性があったとしても，十分にねじれがあれば，工具剛性としての異方性はないはずです．
1枚刃と2枚刃の断面形状を想像すると，断面二次モーメントに異方性があることは理解できます．
4枚や6枚刃は偶数刃なので，異方性がなさそうな気がします．
その一方，3枚刃や5枚刃は周期的に変わりそうな気もします．
ここでは，工具断面の断面二次モーメントに異方性があるのかどうかを調べます．
「ねじれ刃エンドミルの断面形状と曲げ剛性」には，1枚刃と2枚刃には異方性があって，3枚刃以上だと異方性がないことが示されています．
上記論文では，工具断面を二等辺三角形の和と解釈し，その二等辺三角形を円周方向にn個等角度間隔で並べることで，異方性の解析を行っています．
切削油剤を通す穴などの形状は，二等辺差角形の和と差を使うことによって表現できるということだと考えます．
ただ，個人的には二等辺三角形の集合として計算する部分だけが若干気になりました．
そこで，このページでは，更に簡単化して，工具断面を微小面積を持つ点群で表現した場合で異方性の解析を行います．
上記論文との違いはそこだけです．
微小面積を持つ点群で表現した場合の異方性の解析方法は，以下の論法によります．
- 工具断面を微小面積の点群で表現する．
- 工具は等ピッチで刃数はZ枚とし，工具断面は工具中心から360/Z度の対称性を持つ．
- 工具断面を形成する点群から任意の1点を選択すると，360/Z度の対称性により，選択した1点を含んだ，正Z角形の頂点をなすZ個の点が必ず存在する．
- よって，工具断面は「正Z角形の頂点をなすZ個の点」の集合によって形成されているとも解釈できる．
- ここで，正Z角形の頂点をなすZ個の点において，断面二次モーメントを計算し，異方性がなかったと仮定する．
- 断面二次モーメントの異方性を持たない「正Z角形の頂点をなすZ個の点」の集合によって，工具断面が形成される場合，工具断面も異方性を持たない．
- ただし，正Z角形の頂点をなすZ個の点において，断面二次モーメントの異方性があったとしても，工具断面に異方性があるとは限らない．
正Z角形の頂点をなすZ個の点による断面二次モーメントに異方性がなければ理論上，異方性がないことが明らかになります．
まず，正Z角形の頂点をなすZ個の点の座標を定義します．
次式は，Z個の点のうち，i番目の点のX座標とY座標を定めています．
\( P_{(\theta,z,i)} = (P_{x(\theta,z,i)},P_{y(\theta,z,i)}) = ( r\cos(\theta + \cfrac{2 \pi}{Z} (i-1) ), r\sin(\theta + \cfrac{2 \pi}{Z} (i-1)) \)
\( 1 \leqq i \leqq Z \)
\( Z \)：刃数
\( r \)：中心点から点までの距離
\( \theta \)：選択した任意の1点の位相
各点は微小面積\( \varDelta A \)を持つとします．
このとき，断面二次モーメントIxxは次式で計算できます．
\( I_{x(\theta,Z)} = \sum_{i=1}^{Z} \lbrack \varDelta A \cdot \lbrace r\sin(\theta + \cfrac{2 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace^2 \rbrack \)
\( = \varDelta A \cdot r^2 \sum_{i=1}^{Z} \lbrack \lbrace \sin(\theta + \cfrac{2 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace^2 \rbrack \)
\( = \varDelta A \cdot r^2 \sum_{i=1}^{Z} \lbrack - \cfrac{1}{2} \lbrace \cos(2\theta + \cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) -1 \rbrace \rbrack \)
\( = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \sum_{i=1}^{Z} \lbrack 1 - \cos(2\theta + \cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrack \)
\( = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \sum_{i=1}^{Z} \lbrack 1 - \cos(2\theta) \cdot \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) + \sin(2\theta) \cdot \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrack \)
\( = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack \sum_{i=1}^{Z}(1) - \cos(2\theta) \cdot \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace + \sin(2\theta) \cdot \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \rbrack \)
\( = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack Z - \cos(2\theta) \cdot \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace + \sin(2\theta) \cdot \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \rbrack \)
上式の最終行において\( \theta \)と\( Z \)が分離されています．
ここで，下記2式が同時に成立する場合，\( I_{x(\theta,Z)} \)は\( \theta \)によって変化しない，つまり，断面二次モーメントが異方性を持たないことになります．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace = 0 \)
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace = 0 \)
まずは\( \cos \)のほうをもう少し分解します．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace = \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i -\cfrac{4 \pi}{Z}) \rbrace \)
\( = \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i)\cos(\cfrac{4 \pi}{Z}) + \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i)\sin(\cfrac{4 \pi}{Z}) \rbrace \)
\( = \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}) \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace + \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}) \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace \)
次に\( \sin \)のほうをもう少し分解します．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace = \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i - \cfrac{4 \pi}{Z})) \rbrace \)
\( = \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i)\cos(\cfrac{4 \pi}{Z}) - \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i)\sin(\cfrac{4 \pi}{Z}) \rbrace \)
\( = \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}) \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace - \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}) \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace \)
両式を見比べると，よくわからない項は\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace \)と，\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace \)の2つで共通していることがわかります．
数値計算をしても決着がつくのですが，一応，数式展開を進めます．
「数学公式2 級数・フーリエ解析（岩波書店）」の17ページに次式が記載されています．
\( \sum_{r=1}^{n} \cos (rx) = \cos \lbrace \cfrac{ (n+1)x}{2} \rbrace \sin(\cfrac{nx}{2})/\sin(\cfrac{x}{2}) \)
\( \sum_{r=1}^{n} \sin (rx) = \sin \lbrace \cfrac{ (n+1)x}{2} \rbrace \sin(\cfrac{nx}{2})/\sin(\cfrac{x}{2}) \)
変数表記がややこしいですが，上式において，\( x \Rightarrow \cfrac{4 \pi}{Z} \)，\( r \Rightarrow i \)，\( n \Rightarrow Z \)と置換すると次式が成立します．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace = \cos \lbrace \cfrac{ (Z+1)\cfrac{4 \pi}{Z}}{2} \rbrace \sin(\cfrac{Z\cfrac{4 \pi}{Z}}{2})/\sin(\cfrac{\cfrac{4 \pi}{Z}}{2}) \)
\( = \cos \lbrace \cfrac{ 2\pi(Z+1) }{Z} \rbrace \sin(2 \pi)/\sin(\cfrac{2 \pi}{Z}) \)
\( = \cos \lbrace 2 \pi (1+\cfrac{1}{Z} ) \rbrace \sin(2 \pi)/\sin(\cfrac{2 \pi}{Z}) \)
同様に次式が得られます．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace = \sin \lbrace 2 \pi (1+\cfrac{1}{Z} ) \rbrace \sin(2 \pi)/\sin(\cfrac{2 \pi}{Z}) \)
どちらも\( \sin(2 \pi) \)が含まれているのでゼロになりそうですが，その検証をします．
まず，分母にある\( \sin(\cfrac{2 \pi}{Z}) \)を検討します．
この分母がゼロになると，分子の\( \sin( 2 \pi) = 0 \)に対してゼロ割になってしまう可能性があるためです．
\( 1 \leqq Z \)
\(\Rightarrow \cfrac{1}{Z} \leqq 1 \)
\(\Rightarrow \cfrac{2 \pi}{Z} \leqq 2 \pi \)
また，
\( \lim_{Z \to \infty} \cfrac{2 \pi}{Z} = 0\)
であることから，
\( 0 \leqq \cfrac{2 \pi}{Z} \leqq 2 \pi \)
が得られます．
この範囲内で\( \sin( \cfrac{2 \pi}{Z}) = 0 \)となるのは，\( \cfrac{2 \pi}{Z} = 0,\pi,2\pi \)の3条件だけです．
そして，これは，\( Z \to \infty,\ Z=1,\ Z=2 \)のときにしか生じないことがわかります．
Zは刃数であり，有限の数と想定できるため，\( Z \to \infty \)は無視できます．
\( \ Z=1,\ Z=2 \)のときは，ゼロ割になってしまうので，別途検討します．
よって，少なくとも\( 3 \leqq Z \)のときにはゼロにならないことがわかります．
一応，\( 3 \leqq Z \)の場合を確認します．
\( 3 \leqq Z \)
\(\Rightarrow 0 \le \cfrac{2\pi}{Z} \leqq \cfrac{2\pi}{3} \)
より，
\( \sin( \cfrac{2 \pi}{Z}) \)は，\( 3 \leqq Z \)のとき，正の実数になります．
この時点で，\( 3 \leqq Z \)では，\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace \)と，\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace \)は，分母が正の実数となり，分子にゼロの項があるため，以下の2式が成立します．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace = 0 \)
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace = 0 \)
これによって，次式も成立します．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace = 0 \)
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace = 0 \)
よって，
\( I_{x(\theta,Z)} = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack Z \rbrack \)
が成立し，断面二次モーメントは\( \theta \)による異方性を持たないことになります．
では，残っている\( Z = 1 \)と\( Z = 2 \)を検証します．
このとき，さきほど記述したように，以下の2式を使うとゼロ割となってしまうので，普通に計算します．
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace = \cos \lbrace 2 \pi (1+\cfrac{1}{Z} ) \rbrace \sin(2 \pi)/\sin(\cfrac{2 \pi}{Z}) \)
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z}i) \rbrace = \sin \lbrace 2 \pi (1+\cfrac{1}{Z} ) \rbrace \sin(2 \pi)/\sin(\cfrac{2 \pi}{Z}) \)
すると，
- \( Z = 1 \)のとき，
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \)
\(\Rightarrow \cos(\cfrac{4 \pi}{1} (1-1)) \)
\(\Rightarrow \cos(0) \)
\(\Rightarrow 1\)
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \)
\(\Rightarrow \sin(\cfrac{4 \pi}{1} (1-1)) \)
\(\Rightarrow \sin(0) \)
\(\Rightarrow 0\)
- \( Z = 2 \)のとき，
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \)
\(\Rightarrow \cos(\cfrac{4 \pi}{1} (1-1)) + \cos(\cfrac{4 \pi}{2} (2-1)) \)
\(\Rightarrow \cos(0) + \cos(2\pi) \)
\(\Rightarrow 2 \)
\( \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \)
\(\Rightarrow \sin(\cfrac{4 \pi}{1} (1-1))+ \sin(\cfrac{4 \pi}{2} (2-1)) \)
\(\Rightarrow \sin(0) + \sin(2\pi) \)
\(\Rightarrow 0\)
上記関係式を，一番最初の断面二次モーメントの式に代入します．
\( I_{x(\theta,Z)} = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack Z - \cos(2\theta) \cdot \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \cos(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace + \sin(2\theta) \cdot \sum_{i=1}^{Z} \lbrace \sin(\cfrac{4 \pi}{Z} (i-1)) \rbrace \rbrack \)
- \( Z = 1 \)のとき，
\( I_{x(\theta,Z)} \) \( \Rightarrow \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack 1 - \cos(2\theta) \cdot (1) + \sin(2\theta) \cdot (0) \rbrack \)
\( \Rightarrow \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack 1 - \cos(2\theta) \rbrack \)
- \( Z = 2 \)のとき，
\( I_{x(\theta,Z)} \) \( \Rightarrow \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack 2 - \cos(2\theta) \cdot (2) + \sin(2\theta) \cdot (0) \rbrack \)
\( \Rightarrow \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} \lbrack 2 - 2\cos(2\theta) \rbrack \)
\( \Rightarrow \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} 2 \lbrack 1 - \cos(2\theta) \rbrack \)
ここまでの結果をまとめると，
- \( Z = 1 \)または\( Z = 2 \)のとき，
\( I_{x(\theta,Z)} = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} Z \lbrace 1 - \cos(2\theta) \rbrace \)
となり，正Z角形の頂点をなすZ個の点によって生じる断面二次モーメントは異方性を持つことになります．
よって，工具断面が異方性を持つかどうかは刃数による対称性だけでは判断できないことになります．
断面形状が工夫されている場合は，工具断面としては断面二次モーメントに異方性を持たない可能性もあります．
- \( 3 \leqq Z \)のとき，
\( I_{x(\theta,Z)} = \cfrac{\varDelta A \cdot r^2}{2} Z \)
となり，正Z角形の頂点をなすZ個の点によって生じる断面二次モーメントは異方性を持たないことになります．
よって，工具断面としては断面二次モーメントに異方性を持たないことになります．
よって，結果としては二等辺三角形で解いても，点群で解いても同じであることがわかります．
工具断面の断面二次モーメントに異方性がないということは，それによって定まる剛性にも異方性がないことを示します．
しかしながら，断面係数には異方性が生じる可能性があるので，強度には異方性が生じる可能性があります．
具体例として，正三角形断面を持つ片持ち梁を考えます．
これは120度の対称性を持つので，片持ち梁先端に荷重をかけ，その方向を片持ち梁の軸に垂直な平面内で変化させても，剛性に異方性は生じないです．
しかしながら，図心から頂点までの距離と，辺の中央までの距離が異なるため，断面係数が荷重方向によって変化します．
これにより，強度には異方性が生じてしまいます．
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