丸棒片持ち梁の剛性と固有振動数（計算機能あり）
まず，以下に片持ち梁（一端完全固定，他端自由）の丸棒（円柱）がもつ剛性と固有振動数，最大曲げ応力などの計算機能を示します．
計算機能の実装にJavaScriptを使用しているので，必要に応じてJavaScriptをONにしてください．
表 数値入力
| 項目 | 入力欄 | 参考値 |
|---|---|---|
| 円柱の直径 (mm) |
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| 円柱の長さ (mm) |
||
| 円柱のヤング率 (GPa) |
真鍮：103 鋼：210 アルミ：71 チタン：110 耐熱合金：205 超硬合金：550 |
|
| 円柱の密度 (g/cm3) |
真鍮：8.39 鋼：7.85 アルミ：2.80 チタン：4.43 耐熱合金：8.19 超硬合金：14.5 |
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| 円柱自由端での 半径方向荷重 (N) |
表 計算結果出力
| 項目 | 計算結果 |
|---|---|
| 面積 （mm2） |
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| 断面2次モーメント （mm4） |
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| 断面係数 （mm3） |
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| 体積 （mm3） |
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| 質量 （g） |
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| 自由端での 半径方向剛性 （N/μm） |
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| 自由端での 半径方向 コンプライアンス （μm/N） |
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| 自由端変位 （μm） |
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| 自由端での 軸方向剛性 （N/μm） |
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| 自由端での 軸方向 コンプライアンス （μm/N） |
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| 固定端での 最大曲げ応力 （MPa） |
|
| 1次の固有振動数 （Hz） |
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| 2次の固有振動数 （Hz） |
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| 3次の固有振動数 （Hz） |
ドリルやエンドミルは概略形状が丸棒なので，丸棒片持ち梁の剛性と固有振動数の計算式をまとめておきます．
直径や突き出し量が剛性と固有振動数にどのように影響するか，また，どの程度の数値になるかがわかれば，いろいろ便利だと思います．
\(\displaystyle d = \cfrac{L^3}{3 E I}F \)
\(\displaystyle K = \cfrac{3 E I}{L^3} \)
\(\displaystyle I = \cfrac{\pi D^4}{64} \)
\( d \): 片持ちはり先端の変位
\( F \): 片持ちはり先端の集中荷重
\( K \): 片持ちはり先端での剛性
\( L \): 片持ちはりの全長
\( E \): ヤング率
\( I \): 断面二次モーメント
\( D \): 円柱の直径
上式より，次式が得られます．
\(\displaystyle d = \cfrac{64 L^3}{3 E \pi D^4}F \)
\(\displaystyle K = \cfrac{3 E \pi D^4}{64L^3} \)
次に，固有振動数の計算式を示します．
\(\displaystyle f_{n} = \cfrac{\omega_{n}}{2 \pi} = \cfrac{1}{2 \pi}\cfrac{\lambda^2}{L^2}\sqrt{\cfrac{E I}{\rho A}} = \cfrac{\lambda^2}{8 \pi}\cfrac{D}{L^2}\sqrt{\cfrac{E}{\rho}}\)
\( f_{n} \): 固有振動数
\( \rho \): 密度
\(\displaystyle \lambda = 1.875 \)のとき，1次の固有振動数
\(\displaystyle \lambda = 4.694 \)のとき，2次の固有振動数
\(\displaystyle \lambda = 7.855 \)のとき，3次の固有振動数
上述したのは単一の丸棒での剛性と固有振動数です．
同様に，2段段付き丸棒の剛性と固有振動数を計算することも可能です．
剛性は材料力学で計算できるのですが，固有振動数は計算方法が尋常ではなく複雑になります．
下記サイトに詳細と，pythonのプログラムのコードを書いています．
フライス加工用の切削計算アプリ「ミリングマニアック」の「丸棒片持ち梁の固有振動数と剛性」計算機能説明
片持ち梁の段数が増えた場合の剛性の計算式については「多段段付き片持ち梁の剛性」のページに記載しています．
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