切削速度と工具寿命の関係式

工具寿命というのは，様々な摩耗進展要因で決定します．
単純な擦過距離で決まる場合，熱特性を含む逃げ面摩耗やすくい面摩耗で決まる場合などがあります．
ここでは，提案されている理論式を組み合わせて，切削速度による工具寿命への影響推定ができそうな感じを目指します．
切削速度が切削距離に直結するように旋削加工を想定します．

1. アブレシブ摩耗
   もっとも単純なパターンで，工具と工作物の擦過距離が主要因の場合です．
   \( L = V_{c}T \)
   \( T = \cfrac{L}{V_{c}} \)
   
   \( V_{c} \): 切削速度
   \( T \): 工具寿命（時間）
   \( L \): 工具寿命（距離）
   
   
2. 逃げ面摩耗（Taylorの寿命方程式）
   「Taylorの寿命方程式と切削距離」や「Taylorの寿命方程式の係数を求める方法（計算機能あり）」で説明した式を使います．
   \( C = V_{c}T^{n} \)
   より
   \( T = (\cfrac{C}{V_{c}})^{\cfrac{1}{n}} \)
   
   \( L = V_{c}T = V_{c}(\cfrac{C}{V_{c}})^{\cfrac{1}{n}} \)
   \( = C^{\cfrac{1}{n}}V_{c}^{\cfrac{n-1}{n}} \)
   
   \( C \): 定数
   \( n \): 係数
   
   
3. 逃げ面摩耗，すくい面摩耗（摩耗特性式）
   「すくい面摩耗特性の検討　切削工具寿命の解析的予測に関する研究(第1報)」によると摩耗特性式は次式のようになります．
   
   \( \cfrac{dW}{\sigma_{t}dL} = c\exp(-\cfrac{\lambda}{\theta}) \)
   
   \( \cfrac{dW}{dL} \): 単位面積，単位摩擦距離当たりの摩耗体積
   \( \sigma_{t} \): 摩耗面の垂直応力
   \( \theta \): 絶対温度
   \( c \): 係数
   \( \lambda \): 定数
   
   上式を少し書き換えると次式になります．
   
   \( \cfrac{dW}{dL} = \sigma_{t}c\exp(-\cfrac{\lambda}{\theta}) \)
   
   切削速度によって変化しそうな数値は\( \sigma_{t} \)と\( \theta \)の2つになります．
   
   まず，摩耗面の垂直応力\( \sigma_{t} \)と切削速度の関係を調べます．
   摩耗面の垂直応力\( \sigma_{t} \)は，比切削抵抗の影響を受けることが推測できます．
   比切削抵抗と切削速度の関係は，「切削抵抗の3分力を与える実用式」に一例があります．
   
   \( F_{v} = aS \lbrace \overline{f_{v}} + C_{Vh}( \cfrac{1}{\sqrt{Vh}} - \cfrac{1}{\sqrt{ \overline{Vh}}}) -C_{\gamma}( \gamma - \overline{\gamma} ) \rbrace \)
   
   各文字の意味を説明するのがめんどくさいので，知りたい方は原文を確認してください．
   上式より切削速度の成分をざっくり抜き出すと，次式の関係が得られます．
   
   \( \sigma \varpropto \cfrac{1}{\sqrt{V_{c}}} = V_{c}^{-0.5} \)
   
   次に，絶対温度\( \theta \)と切削速度の関係を調べます．
   絶対温度\( \theta \)と切削速度の関係は，「次元解析による切削温度の研究（Al₂O₃工具を用いた旋削における切削条件の影響）」に一例があります．
   
   \( \theta = Cks\cfrac{ v^{\cfrac{1}{2}} a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} }{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} } \)
   
   上式より切削速度の成分を抜き出すと，次式の関係が得られます．
   
   \( \theta \varpropto Cks\cfrac{ a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} }{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} } V_{c}^{0.5} \)
   
   この\( \sigma_{t} \)と\( \theta \)の関係性を摩耗特性式に代入すると，次式の関係になります．
   
   \( \cfrac{dW}{dL} \varpropto V_{c}^{-0.5} \exp( - \cfrac{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} }{ a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} } \cfrac{1}{V_{c}^{0.5}}) = V_{c}^{-0.5} \exp( - \cfrac{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} }{ a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} } V_{c}^{-0.5}) \)
   
   摩耗特性式は摩耗の速度を示しているので，一定の摩耗量Wに到達したときに寿命であると判断することにすると，次式が成立すると仮定できます．
   
   \( W = \cfrac{dW}{dL}L \)
   
   よって，次式の関係が得られます．
   
   \( L \varpropto (\cfrac{dW}{dL})^{-1} = V_{c}^{0.5} \exp( - \cfrac{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} }{ a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} } V_{c}^{-0.5}) \)
   
   \( T = \cfrac{L}{V_{c}} \varpropto \cfrac{ V_{c}^{0.5} \exp( - \cfrac{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} }{ a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} } V_{c}^{-0.5}) }{ V_{c} } = V_{c}^{-0.5} \exp( - \cfrac{ (\rho c)^{\cfrac{1}{2}} \lambda^{\cfrac{1}{2}} }{ a^{\cfrac{1}{4}} f^{\cfrac{1}{4}} } V_{c}^{-0.5}) \)